Pajas Mentalmáticas

¿Cómo represento un número real en la recta?

Nivel: Secundaria/Bachillerato

¡A cada número su sitio! Cómo representar en la recta real como un PRO

¡Hola, cracks! ¿Alguna vez has mirado la recta real y has pensado que es como el gran «parking» de los números? Pues no vas mal encaminado. Cada número, por muy raro que parezca, tiene su propia plaza de aparcamiento exacta.

Hoy vamos a dejar de tenerle miedo y vamos a aprender a colocar cada tipo de número en su sitio. Coge regla y compás, que despegamos. ¡Al lío!

El calentamiento: Números Enteros (naturales y negativos )

Estos son los más fáciles, ¡el pan de cada día! Son los números positivos, los negativos y el cero.

Dibuja una línea recta.
Marca el cero (0) más o menos en el centro. Este es tu punto de partida, el origen.
A la derecha del cero, ve marcando los números positivos (1, 2, 3…) a la misma distancia uno de otro. ¡Usa una regla para que quede perfecto!
A la izquierda del cero, haz lo mismo con los números negativos (-1, -2, -3…).

¡Listo! Ya tienes tu base de operaciones.

El primer desafío: Fracciones (número racional) con el Teorema de Tales

Aquí es donde la cosa se pone interesante. ¿Cómo colocas con precisión un número como 3/4? No se hace a ojo, ¡se hace con elegancia y un truco llamado Teorema de Tales!

Vamos a representar frac43:

Dibuja tu recta real y marca el 0 y el 1.
Desde el 0, dibuja una línea auxiliar hacia arriba con el ángulo que te dé la gana.
Fíjate en el denominador (el número de abajo), que es 4. Con un compás, haz 4 marcas de la misma longitud en la línea auxiliar, empezando desde el 0.
Une la última marca (la tercera) con el número 1 de tu recta real.
Ahora, dibuja líneas paralelas a esa que acabas de hacer, pero que pasen por las otras marcas de la línea auxiliar. ¡Boom! Magia, has dividido el trozo entre 0 y 1 en 4 partes iguales. Cada parte es 1/3.
¿Y ahora qué? Como tu fracción es 3/4 (necesitas 3 de esas partes), nos vamos a la tercera parte y la marcamos, esa marca corresponde al 3/4. ¡Ahí lo tienes!

🎯 El truco: El denominador te dice en cuántas partes divides la unidad. El numerador, cuántas de esas partes tienes que coger.

Pura Magia: Raíces Cuadradas (√2, √5, etc.) con Pitágoras.

Los números irracionales, como las raíces cuadradas, también tienen su sitio, y para encontrarlos vamos a invocar al gran Pitágoras y su famoso teorema (a²+b²=c²).

Vamos a por el más famoso: √2.

En tu recta real, sitúate en el punto 1.
Desde ahí, levanta una línea perpendicular que mida exactamente 1 unidad de alto.
Ahora tienes un triángulo rectángulo. Sus catetos (los lados cortos) miden 1 y 1. La hipotenusa (el lado largo que une el 0 con el extremo de la línea que has dibujado) medirá, según Pitágoras, c=√(1²+1²)=√(2).
¡Ya casi está! Coge tu compás. Pincha en el 0, ábrelo hasta que la punta del lápiz toque el final de la hipotenusa.
Baja el compás como si dibujaras un arco hasta que corte la recta real. Ese punto de corte es, ni más ni menos, que √2.

🧠 ¿Quieres representar sqrt5? Fácil. Crea un triángulo rectángulo con catetos de 2 y 1. La hipotenusa será √(2²+1²)=√(4+1)=√(5). Luego, repite el paso del compás.

¿Y qué pasa con los VIPs como π o el número e?

Números como pi (π) o e (el número de Euler) son irracionales, pero no provienen de una raíz cuadrada sencilla. No podemos usar el truco de Pitágoras de forma directa.

¿Qué hacemos entonces? Aquí no buscamos la exactitud milimétrica con regla y compás, sino su ubicación aproximada.

Para pi: Sabemos que π ≈ 3.14159… Así que, en tu recta, buscas el 3 y lo colocas un poquito después del 3.1, a mitad de camino entre 3.1 y 3.2, pero un pelín más cerca del 3.14.
Para e: Sabemos que e ≈ 2.718… Lo buscas entre el 2 y el 3, un poco después del 2.7.

La clave es entender que, aunque no los «clavemos» con un método geométrico, sabemos perfectamente dónde viven.

¡Misión Cumplida!

Como has visto, desde el humilde -2 hasta el mágico √2, todos los números reales tienen un lugar en esta infinita recta. Es solo cuestión de tener las herramientas adecuadas y saber usarlas.

Ahora te toca a ti. Coge papel, lápiz, compás y ¡a colocar números! Verás que con un par de intentos, esto está chupado.

¡Y estate atento, que pronto subiré un vídeo corto para que lo veas todo en acción!